| 路口 | 当前最短距离 |
|---|---|
| A | 0 |
| B | 2 |
| C | 1 |
| D | 3 |
| E | 2 |
| F | 3 |
橙色描边是 A 到 D 的当前最短路;节点旁小数字 = 当前最短距离。
不必点开始。页面加载完,这里已经是一张六个路口的两层小图:A 出发,先散到中层 B、C、E,再汇聚到 D 和 F。拨动任意一条边上的权重,会看到松弛像波浪一样从 A 逐轮传开:被更新的边逐条点亮,路口旁的小数字跟着变,最后 A 到 D 的最短路整体加粗一拍才算落定。留意那条中期看是绕远的路——只要汇聚边的权重不同,它随时可能翻盘成最终答案。
这句话对不对,不用信我们。往下三屏,你自己判定。
打开导航,输入出发地和目的地。它不会把所有走法都试一遍,而是在每一个路口只问同一句话:从我现在的位置看,哪个路口最近,就走哪个。听起来像赌运气,其实这是被数学证明过的正确策略。
证明的思路不复杂。只要每条路都不倒扣时间,先绕去更远的路口再折回来,永远不会比直接去最近的那一个更省。导航敢一次定一句话,底气全在这里:局部最省的路,拼起来就是全局最省的路。
数学家把这叫贪心选择性质。Dijkstra 的全部智慧,就是把这个朴素的策略坚持到底,每轮只做一件事,一遍都不回头。
读者此刻该做的事:对照亮起的边,看距离表哪个格子被压低了。(P2 接引擎)
你一定听过导航说这句话。它不是安慰,而是一次数学上的承诺:从现在起,这个路口的最短距离被永久锁定,后面无论发现什么新路,都不再更改。这个承诺敢下,靠的是图中没有倒贴钱的路。
算法内部始终隔着一条边界。一边是已确定区,里面的路口 dist 再也不会变;另一边是候选区,它们的 dist 只是临时报价,随时可能被一条刚松弛的边压得更低。
每一轮,算法都从候选区里挑报价最低的那个,把它移进已确定区,再顺着它的出边更新候选区的报价。挑一次,锁一次,直到终点也进锁,答案才算落地。
读者此刻该做的事:看清这个节点是从哪个路口被拉进已确定区的。(P2 接引擎)
现在放一个捣乱分子进图里:一条权重为负的边。走它不但不花时间,反而倒赚,像一段倒贴钱的顺风车。对 Dijkstra 来说,这是釜底抽薪的攻击。
麻烦在于,贪心的承诺只对不倒贴的路成立。一条负权边可以让你先绕远,再靠倒赚把总价拉得更低,于是那个「先到先锁」的路口,锁住的可能是错误答案,而且算法自己永远不会发现。
更糟的情形是,倒赚的路首尾相连,每绕一圈都能更便宜,最短路在数学上根本不存在,算法会被迫永远绕下去。所以 Dijkstra 立了一条铁规矩:图中不许有负权边。这不是它的疏忽,而是它的边界声明,也是这门课要你亲眼看到的一次翻车。
读者此刻该做的事:比较这两个数,回答「如果算法回头看一眼,答案会便宜多少」。(P2 接引擎)
两者之差就是翻车的证据:C 本可以只花 −3,但它在更早一轮已被锁定为 1。
故事讲完了,接下来把方向盘交给你。
在预设的图上单步执行 Dijkstra,每一步都看得到距离表怎么变,负权反例也在这里翻车。
这一块面板会变成单步执行器:每按一次步进,图上的节点染色、被松弛的边亮起、距离表跟着跳动,select、relax、settle、reject 四种事件各演各的戏。
此刻先看首页的迷你演示,它已经能让你拨权重、看距离变。
算法每走一步就停下,由你预测下一个被确定的路口,三关比一关难。
三道关卡正在路上:每一关算法都会在关键处暂停,你从候选区里挑出下一个被锁定的路口,答对进下一关,答错会拿到基于当前距离表的提示。
关卡数据与判定逻辑在 P2 与引擎一起交付。
自己拖节点、连边、定权重,再运行算法,验证你手算的答案。
画布会在这里展开:拖出节点、连上边、拨定每条权重,然后一键运行算法。输入层会直接拦下负权边并给出内联提示,保证图永远在 Dijkstra 的边界声明之内。
拖拽与实时校验在 P2 交付。
选定,松弛,定格。
答案不是终点给的,是每一步正确的贪心攒出来的。